Integración varias

Para integrar esto primero se completa el trinomio cuadrado perfecto con el comando completesquare(sedefine la función), definiendola como f1.
> restart; with(student);
> f := 1/sqrt(10+3*x-(1/4)*x^2);
> f1 := completesquare(10+3*x-(1/4)*x^2);
> Int(1/f1^(1/2), x);
> Int(f, x) = value(%)+c;
> Int(f, x) = int(f, x);

Para integrar por partes se llama a la biblioteca with(student) que ya se venia manejando en ejercicios anteriores, se define la integral con Int(función, variable), se ocupa el comando intparts(integral de la función, parte a separar), simplify simplifica el resultado, value resuelve la integral restante y factor factoriza el resultado si se pudiera factorizar y se le agrega la constate de integración.
> restart; with(student);
> p1 := Int(x*ln(x), x);
> p2 := intparts(p1, ln(x));
> p3 := simplify(p2);
> p4 := value(p3);
> p5 := factor(p4);
> p1 = p5+c;
En forma directa.
> Int(x*ln(x), x) = int(x*ln(x), x)+c;

Por partes trigonométricas inversas
> restart;
> with(student);
> p1 := Int(arctan(sqrt(2*x)), x);
> p2 := intparts(p1, arctan(sqrt(2*x)));
> p3 := op(2, p2);
> p4 := changevar(sqrt(2*x) = u, p3, u);
> p5 := eval(value(p4), u = sqrt(2*x))+c;
> p1 = op(1, p2)+p5;
> En forma directa se tiene(como texto);
> Int(arctan(sqrt(2*x)), x) = int(arctan(sqrt(2*x)), x)+c;

Integración directa

> f := 1/(1+sin(3*x));
> Int(f, x) = int(f, x);
> f := 4/(x^2+2);
> Int(f, x) = int(f, x);
> f := 2/(5*x^2-8);
> Int(f, x) = int(f, x);
> f := sqrt(5-x^2);
> Int(f, x) = int(f, x);
Como en la derivada ahora se maneja el comando Int(f,x) para definir la función y int(f,x) para integrar.

Variación de crecimiento de área

> restart; with(difforms); with(student);
> defform(f = 0, w1 = 1, w2 = 1, w3 = 1, v1 = 1, x = 0, y = 0, z = 0, t = 0, a = const, b = const, e = const, c = const);
> A(l):=l^(3);#`Fórmula del área de un cuadrado.`;
> f := proc (x) options operator, arrow; x^3 end proc;
> dy = d(f(x));
> subs([x = 5, d(x) = 0.2e-2], %);

Formas Diferenciales

> restart; with(difforms);
> defform(f = 0, w1 = 1, w2 = 1, w3 = 1, v1 = 1, x = 0, y = 0, z = 0, t = 0, a = const, b = const, e = const, c = const);
> dy = d(x^2);
> dy = d(3*x^2+5*x);
> dy = d(sqrt(1-3*x));
> f := x^3-y^2 = 3*x-4;
> dy/dx = implicitdiff(f, y, x);
> %*dx;
> sort(%);
> d(x^3-y^2 = 3*x-4);
> isolate(%, d(y));
> simplify(%);
> sort(%);
> f := 4*x^5-5*x^2-1;
> d^3*y/dx^3 = diff(f, `$`(x, 3));
> %*dx^3;
> sort(%);
solución 2 Usando la forma de diferencial.
> dy = d(4*x^5-5*x^2-1);
> d^2*y = d(20*x^4-10*x)*d(x);
> d^3*y = d(80*x^3-10)*d(x)^2;

FORMAS DIFERENCIALES

Formas diferenciales
> restart; with(difforms);
> defform(f = 0, w1 = 1, w2 = 1, w3 = 1, v1 = 1, x = 0, y = 0, z = 0, t = 0, a = const, b = const, e = const, c = const);
> dy = d(x^2);
> dy = d(3*x^2+5*x);
> dy = d(sqrt(1-3*x));
> f := x^3-y^2 = 3*x-4;
> dy/dx = implicitdiff(f, y, x);
> %*dx;
> sort(%);
> d(x^3-y^2 = 3*x-4);
> isolate(%, d(y));
> simplify(%);
> sort(%);
> f := 4*x^5-5*x^2-1;
> d^3*y/dx^3 = diff(f, `$`(x, 3));
> %*dx^3;
> sort(%);
solución 2 Usando la forma de diferencial.
> dy = d(4*x^5-5*x^2-1);
> d^2*y = d(20*x^4-10*x)*d(x);
> d^3*y = d(80*x^3-10)*d(x)^2;

REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LA DERIVADA

restart:with(plots):f:=x->root[3](x);
> f(x+h);
> f(x+h)-f(x);
> %/h;
> Limit(%,h=0,right):%=value(%);
> Limit((f(x)-f(x-h))/h,h=0,left):%=value(%);
> p1:=plot(f(x),x=-0.5..4,y=-4..2,color=blue,thickness=3):
> p2:=plot(rhs(%%),x=-0.5..4,y=-2..2,color=brown,thickness=3):
> display(p1,p2);
>

DERIVADAS CON MAPLE 13 (Taller de MAPLE ACATLAN)

restart:#Derivadas de funciones directasf:=x->x^3;
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);#Diff es el comando para derivar.
> Diff(f(x),x$2)=diff(f(x),x$2);#Segunada derivada se agrega $2.
> Diff(f(x),x$3)=diff(f(x),x$3);#Tercera derivada se agrega $3 y asi sucesivamente.
> Diff(f(x),x$4)=diff(f(x),x$4);#Derivada de orden n.
> restart:
> f:=x->x^4-2*x+5*x+7;
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> Diff(f(x),x$2)=diff(f(x),x$2);
> Diff(f(x),x$3)=diff(f(x),x$3);
> Diff(f(x),x$4)=diff(f(x),x$4);
> Diff(f(x),x$5)=diff(f(x),x$5);
> restart:
> f:=x->(3-x)*(2+x);
> expand(f(x));#Realiza el producto.
> factor(%);#factor: Factoriza la expresión anterior.
> Diff(%,x)=diff(%,x);
> restart:
> f:=x->3/x^2;
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> restart:
> f:=x->sqrt(x)+1/sqrt(x);
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> restart:
> f:=x->(x^3-1)/(x+5);
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> factor(%);
> restart:
> f:=x->root[3](x+1)^4;#root[3]= raíz cubica.
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> restart:
> x:=(y^2-7)^2;
> 1/Diff(x,y)=1/diff(x,y);
> restart:
> x:=root[3](5-y^2);#Para resolver raices enecimas se cambia root[n]
> 1/Diff(x,y)=1/diff(x,y);
> restart:
> f:=x->sin(a*x);
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> restart:
> f:=x->sin(3*x^2-1);
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> restart:
> f:=x->sin(x/2)^2:
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> restart:
> f:=x->root[3](tan(2*x));
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> simplify(%,'symbolic');
> restart:
> f:=x->sin(tan(x));#Funciones trigonometricas explisitas
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> restart:
> f:=x->sec(cos(10*x)^2);
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> restart:
> f:=x->arcsin(5*x^2);#arcsin, es la función del arco seno
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> restart:
> f:=x->arccos(x/2);
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> restart:
> f:=x->arccsc(2*x);
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> simplify(%,'symbolic');
> restart:
> f:=x->arcsin(sqrt(tan(x)));
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> restart:#Derivada de logaritmos
> f:=x->log[10](3/x);
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> restart:
> f:=x->ln(a*x+3);
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> restart:
> f:=x->ln(ln(x));
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> restart:#Derivadas de exponenciales
> f:=x->10^(x^2+5*x-6);
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> restart:
> f:=x->x^x;
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> restart:
> f:=x->x^(2*x);
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> factor(%);
> simplify(%,'symbolic');
> restart:
> f:=x->sqrt(ln(sec(sqrt(x))));
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> restart:
> f:=x->exp(10^(root[3](sin(x))));
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> restart:
> f:=x->(sec(x)*tan(x)^3)^cos(x);
> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
> factor(%);
> restart:#Derivada de una función de funciones
> F:=u->u^3;G:=u->(2*x+1)/4;
> Diff('F(G(x))',x)=diff(F(G(u)),x);
> simplify(%);
> restart:
> f:=x->x^2-8*x-3;
> g:=x->x^2+1;
> diff((f@g)(x),x);
> expand(%);
> restart:#derivadas de funciones paramétricas
> f:=a*cos(theta)=x;
> g:=b*sin(theta)=y;
> dy/dx=implicitdiff({f,g},{y,theta},y,x);
> subs(-b*cos(thetha)/a*sin(theta)=-b/a*tan(theta),%);
> #Obteniendo la segunda derivada
> 'd^2*y/dx^2'=implicitdiff({f,g},{y,theta},y,x$2);
> 'd^2*y/dx^2'=simplify(-b*(sin(theta)^2+cos(theta)^2)/a^2/sin(theta)^3,'symbolic');
> subs(-b/a^2/sin(theta)^3=-b/a^2*csc(theta)^3,%);